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Mathematik-Online-Lexikon:

Skalarprodukt


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Das abgebildete Dreieck besitzt die Eckpunkte

$\displaystyle A=(6,0),\quad B=(4,4),\quad C = (0,0)
$

und es ist

$\displaystyle \vec{a} = \overrightarrow{CB} =
\left(\begin{array}{c}
4 \\ 4
\...
... \overrightarrow{BA} =
\left(\begin{array}{c}
2 \\ -4
\end{array}\right)\,
.
$

\includegraphics[width=7.4cm]{bsp_skalar}

Der Winkel $ \gamma$ läßt sich mit Hilfe des Skalarproduktes berechnen:

$\displaystyle \cos\gamma =
\frac{
\left(\begin{array}{c}
4 \\ 4
\end{array}\r...
...array}\right)\right\vert
}
=
\frac{24}{6\sqrt{32}}
=
\frac{1}{\sqrt{2}}\,
.
$

Man erhält $ \gamma = \pi/4$ , wie auch unmittelbar aus den Koordinaten ersichtlich ist.

Anhand des betrachteten Beispiels kann auch der Kosinussatz überprüft werden. Es gilt

$\displaystyle \vert\vec{c}\vert^2 - \vert\vec{a}\vert^2 - \vert\vec{b}\vert^2 =
20 - 32 - 36 = -48\,
,
$

was mit

$\displaystyle -2\vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert\cos\gamma =
-2\,(4\sqrt{2})\,6 / \sqrt{2}
$

übereinstimmt.

(Autoren: Höllig/Much)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 28.  3. 2008