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Mathematik-Online-Lexikon:

Ebene Bewegungen


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Wie in der folgenden Abbildung illustriert ist, ist eine Drehung linear.

\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_drehung_bild1} \includegraphics[width=.4\linewidth]{b_drehung_bild2}

Die Summe $ v = v_1+v_2$ bildet mit den beiden Vektoren $ v_i$ ein Dreieck, dessen Form durch die Drehung unverändert bleibt, d.h., die Summe kann vor oder nach der Drehung gebildet werden. Dass eine Streckung um einen Faktor $ \lambda$ mit der Drehung vertauschbar ist, ist unmittelbar ersichtlich.

Analog lässt sich veranschaulichen, dass auch eine Spiegelung linear ist.

\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_spiegelung_bild1} \includegraphics[width=.4\linewidth]{b_spiegelung_bild2}

Eine Verschiebung von Punkten in der Ebene ist jedoch nicht linear. Weder die Additivität noch die Homogenität ist erfüllt. Für

$\displaystyle T:\ (x_1,x_2)\mapsto (x_1+1,x_2)
$

und

$\displaystyle v_1 = (1,0),\, v_2 = (0,1),\,\lambda=2
$

gilt beispielsweise
$\displaystyle T(v_1+v_2) = (2,1)$ $\displaystyle \ne$ $\displaystyle (3,1) = T(v_1) + T(v_2)$  
$\displaystyle T(\lambda v) = (3,0)$ $\displaystyle \ne$ $\displaystyle (4,0) = \lambda T(v)\,
.$  

(Autoren: Höllig/Hörner)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006