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Mathematik-Online-Lexikon:

Autobahnzufahrt

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Von einem Dorf $ D$ soll eine Verbindungsstraße zu einer Stadt $ S$ gebaut werden. Im Abstand $ a$ zum Dorf führt bereits eine Autobahn zur Stadt. Der Weg von der Stadt bis zu dem Punkt $ P$ , der Autobahn der dem Dorf am nächsten liegt, hat die Länge $ b$ .

Die geradlinige Strecke soll so gebaut werden, dass ein möglichst schnelles Erreichen der Stadt gewährleistet ist, wenn von einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $ v_a=120 $ km/h auf der Autobahn und $ v_n=60 $ km/h auf der neuen Nebenstrecke ausgegangen wird.

\includegraphics{bsp_autobahn_bild}

Zu bestimmen ist die Entfernung $ x\ge0$ zwischen $ P$ und dem Übergang der Nebenstrecke auf die Autobahn durch Minimierung der benötigten Zeit

$\displaystyle t(x)=\sqrt{a^2+x^2}/v_n + (b-x)/v_a $

für die Fahrt in die Stadt.

Nullsetzen der Ableitung

$\displaystyle t^\prime(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}v_n}-\frac{1}{v_a} \overset{!}{=} 0\,, $

ergibt

$\displaystyle v_a x = v_n \sqrt{a^2+x^2} \quad \Leftrightarrow \quad x_m = a/\sqrt{3} $

als mögliche lokale Extremstelle in (0, b). Ob es sich um das Minimum handelt, muss durch Vergleich mit den Fahrzeiten für die Intervallendpunkte geprüft werden:

$\displaystyle t(a/\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}a+b}{v_a}\,, \qquad t(0) = \frac{2a+b}{v_a}\,, \qquad t(b)=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}}{v_a} $

Offensichtlich ist $ t(0) \geq t(x_m)$ . Für den rechten Endpunkt gilt

$\displaystyle t(b) \geq t(x_m)$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle 2\sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{3}a+b$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle 4a^2+4b^2 \geq 3a^2+2\sqrt{3}ab+b^2$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle a^2-2\sqrt{3}ab+3b^2 =(a-\sqrt{3}b)^2 \geq 0 \,.$  

Die letzte Ungleichung ist stets erfüllt, und somit ist $ x_m$ optimal, falls $ x_m$ im relevanten Intervall $ (0, b)$ liegt: $ b \geq a/\sqrt{3}$ . Andernfalls wird das Minimum am Randpunkt $ b$ , also bei der direkten Verbindung zur Stadt, erreicht.

(Autoren: Höllig/Hörner)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 8.  4. 2008