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Mathematik-Online-Lexikon:

Möbius-Transformation

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Finde eine Möbius-Transformation, welche $ \mbox{$z_1 = 0$}$, $ \mbox{$z_2 = \mathrm{i}$}$, $ \mbox{$z_3 = \infty$}$ auf $ \mbox{$w_1 = \mathrm{i}$}$, $ \mbox{$w_2 = \infty$}$ und $ \mbox{$w_3 = 0$}$ abbildet.
Beschreibe das Bild der Geraden $ \mbox{${\operatorname{Im}}\,z = 0$}$.

Der Ansatz

$ \mbox{$\displaystyle \frac{w - \mathrm{i}}{w - 0}\frac{\infty - 0}{\infty - \mathrm{i}} = \frac{z - 0}{z - \infty}\frac{\mathrm{i}- \infty}{\mathrm{i}- 0} $}$
liefert zunächst $ \mbox{$w - \mathrm{i}= -\mathrm{i}wz$}$, und sodann $ \mbox{$f(z) = w = \frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}z}$}$.
Diese Abbildung bildet $ \mbox{$1$}$ auf $ \mbox{$\frac{1}{2} + \frac{\mathrm{i}}{2}$}$ ab. Gesucht ist also der Kreis, auf welchem die Bildpunkte $ \mbox{$w_1 = \mathrm{i}$}$, $ \mbox{$w_3 = 0$}$ und $ \mbox{$\frac{1}{2} + \frac{\mathrm{i}}{2}$}$ liegen. Also ist das Bild der Geraden $ \mbox{${\operatorname{Im}}\,z = 0$}$ gegeben durch $ \mbox{$\{z\in\bar{\mathbb{C}}\; \vert\; \vert z - \frac{\mathrm{i}}{2}\vert = \frac{1}{2}\}$}$.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006