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Mathematik-Online-Lexikon:

Differentiation komplexer Funktionen (Betrag)

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Ist $ \mbox{$f(z) = \vert z\vert$}$ in $ \mbox{$z = z_0$}$ differenzierbar? Hierbei sei $ \mbox{$z_0\in\mathbb{C}$}$ beliebig gewählt.

In den obigen Bezeichnungen ist $ \mbox{$u(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$}$, $ \mbox{$v(x,y) = 0$}$. Nun ist aber $ \mbox{$u_x(x_0,y_0) = \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$}$, $ \mbox{$u_y(x_0,y_0) = \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$}$, wohingegen $ \mbox{$v_x(x_0,y_0) = 0$}$ und $ \mbox{$v_y(x_0,y_0) = 0$}$. Die Funktion ist also nicht komplex differenzierbar in $ \mbox{$z_0\neq 0$}$, wie für $ \mbox{$x_0 \neq 0$}$ aus der ersten und für $ \mbox{$y_0\neq 0$}$ aus der zweiten der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen folgt. Für $ \mbox{$z_0 = 0$}$ ist $ \mbox{$f$}$ nicht differenzierbar, da schon die Einschränkung auf reelle Argumente dort nicht differenzierbar ist.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006