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Mathematik-Online-Lexikon:

Kurvenintegral

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Sei $ \mbox{$a = 0$}$, $ \mbox{$b = 2\pi$}$, $ \mbox{$\gamma(t) = \exp(\mathrm{i}t) = \cos(t) + \mathrm{i}\, \sin(t)$}$, $ \mbox{$\tilde \gamma(t) = 1$}$. Berechne $ \mbox{$\int_\gamma \frac{dz}{z}$}$ und $ \mbox{$\int_{\tilde \gamma} \frac{dz}{z}$}$.

Wieso unterscheiden sich die Werte?

Es gilt $ \mbox{$\int_{\tilde \gamma} \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{\tilde \gamma'(t)}{\tilde \gamma(t)}\, dt = 0$}$.

Auf der anderen Seite gilt $ \mbox{$\int_\gamma \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}}{e^{\mathrm{i}t}}\,dt = \int_0^{2\pi} \mathrm{i}\,dt = 2\pi\mathrm{i}$}$.

Die Werte unterscheiden sich, da die zwischen $ \mbox{$\gamma$}$ und $ \mbox{$\tilde \gamma$}$ gelegene Teilmenge von $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ den nicht im Definitionsbereich von $ \mbox{$f(z) = \frac{1}{z}$}$ enthaltenen Punkt $ \mbox{$z = 0$}$ enthält.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006