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Mathematik-Online-Lexikon:

Kurvenintegral (Cauchysche Integralformel)

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Sei $ \mbox{$\gamma(t) = \exp(\mathrm{i}t)$}$ für $ \mbox{$t\in [0,2\pi]$}$, sei $ \mbox{$m\geq 1$}$. Berechne $ \mbox{$\int_\gamma \frac{1}{z^m}\, dz$}$ unter Zuhilfenahme der Cauchyschen Integralformel.

Nach Cauchy ist mit $ \mbox{$f(z) = 1$}$ konstant

$ \mbox{$\displaystyle f^{(m-1)}(0) \; =\; \frac{(m-1)!}{2\pi \mathrm{i}}\int_\gamma \frac{1}{z^m}\, dz\; , $}$
also folgt
$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z}\, dz\; =\; 2\pi \mathrm{i}\; , $}$
und $ \mbox{$\int_\gamma \frac{1}{z^m}\, dz = 0$}$ für $ \mbox{$m\geq 2$}$.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006