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Mathematik-Online-Lexikon:

Taylorentwicklung

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Entwickle $ \mbox{$f(z) = z^2 + \frac{1}{z}$}$ um $ \mbox{$z_0 = 1$}$.

Konvergiert die entstehende Reihe im Punkt $ \mbox{$z = 3$}$?

Es ist $ \mbox{$f'(z) = 2z + (-1)^1 1! z^{-2}$}$, $ \mbox{$f''(z) = 2 + (-1)^2 2! z^{-3}$}$ und $ \mbox{$f^{(k)}(z) = (-1)^k k! z^{-(k+1)}$}$ für $ \mbox{$k\geq 3$}$. Also gilt

$ \mbox{$\displaystyle f(z) = 2 + (z - 1) + 2(z-1)^2 + \sum_{j = 3}^\infty (-1)^j (z - 1)^j \; . $}$
Es ist $ \mbox{$B_1(1)$}$ eine maximale Kreisscheibe um $ \mbox{$1$}$ im Definitionsgebiet $ \mbox{$\mathbb{C}\backslash \{ 0\}$}$. Also divergiert die Reihe im Punkt $ \mbox{$z = 3$}$.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006