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Mathematik-Online-Lexikon:

Integration (Residuenkalkül)

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Berechne $ \mbox{$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$}$.

Die einzige komplexe Nullstelle von $ \mbox{$Q(z) = 1 + z^2$}$ mit positivem Imaginärteil ist $ \mbox{$z_1 = \mathrm{i}$}$. Das Residuum in $ \mbox{$\mathrm{i}$}$ berechnet sich mit $ \mbox{$g(z) = (z - \mathrm{i})/(1 + z^2) = (z + \mathrm{i})^{-1}$}$ zu

$ \mbox{$\displaystyle {\mbox{Res}}(P/Q,\mathrm{i})\; =\; \frac{g^{(0)}(\mathrm{i})}{0!}\; =\; g(\mathrm{i}) \; =\; -\mathrm{i}/2\; . $}$
Es gilt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x... ...2\pi \mathrm{i}\cdot{\mbox{Res}}(P/Q,z_1) \\ & = & \pi\; . \\ \end{array}$}$
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006