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Mathematik-Online-Lexikon:

Kombinatorik (Würfel)

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Wir modellieren den Wurf zweier verschiedenfarbiger Würfel, eines roten und eines grünen, wie folgt. Sei $ \mbox{$\Omega = \{ (i,j)\; \vert\; 1\leq i,j\leq 6\}$}$ ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum. Dem Elementarereignis $ \mbox{$(i,j)$}$ entspricht so der Wurf $ \mbox{$i$}$ mit rot und $ \mbox{$j$}$ mit grün.

Sei $ \mbox{$A = \{ (i,j)\in\Omega\; \vert\; i \text{ ungerade} \}$}$, sei $ \mbox{$B = \{ (i,j)\in\Omega\; \vert\; j \text{ gerade} \}$}$, sei $ \mbox{$C = \{ (i,j)\in\Omega\; \vert\; i = j\}$}$ (Pasch), sei $ \mbox{$D = \{ (i,j)\in\Omega\; \vert\; i,j\leq 2\}$}$. Bestimme $ \mbox{$P(A)$}$, $ \mbox{$P(B)$}$, $ \mbox{$P(C)$}$, $ \mbox{$P(D)$}$, $ \mbox{$P(A\vert C)$}$.

Sind $ \mbox{$A$}$, $ \mbox{$B$}$, $ \mbox{$C$}$ unabhängig? Sind sie paarweise unabhängig?

Sind $ \mbox{$A$}$, $ \mbox{$B$}$, $ \mbox{$D$}$ unabhängig?

Es ist $ \mbox{$P(A) = \frac{\vert A\vert}{\vert\Omega\vert} = \frac{3\cdot 6}{6\cdot 6} = 1/2$}$.

Genauso berechnen sich $ \mbox{$P(B) = 1/2$}$, $ \mbox{$P(C) = 1/6$}$ und $ \mbox{$P(D) = 1/9$}$.

Es ist $ \mbox{$P(A\vert C) = \frac{P(A\cap C)}{P(C)} = \frac{\vert A\cap C\vert}{\vert C\vert} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$}$.

Wegen $ \mbox{$P(A\cap B\cap C) = 0 \neq 1/24 = P(A)P(B)P(C)$}$ sind $ \mbox{$A$}$, $ \mbox{$B$}$ und $ \mbox{$C$}$ nicht unabhängig. Wohl aber sind sie paarweise unabhängig, wie eine Betrachtung der drei möglichen Paare ergibt.

$ \mbox{$A$}$, $ \mbox{$B$}$ und $ \mbox{$D$}$ sind unabhängig, wie eine Betrachtung der vier fraglichen Schnittmengen ergibt. Z.B. ist $ \mbox{$P(A\cap B\cap D) = p(\{ (1,2)\}) = 1/36 = P(A)P(B)P(D)$}$.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006