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Mathematik-Online-Lexikon:

Zufallsvariable und Erwartungswert

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Sei die Dichte einer Zufallsvariablen $ \mbox{$X$}$ gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} t & \text{f\uml ur }0... ...text{f\uml ur }1\leq t < 2 \\ 0 & \text{sonst.} \\ \end{array}\right. $}$

Skizziere Dichte und Verteilungsfunktion. Berechne Erwartungswert und Varianz.

Es gilt $ \mbox{$F(t) = P(X\leq t) = \int_0^t x\, dx = t^2$}$ für $ \mbox{$0\leq t\leq 1$}$. Für $ \mbox{$1\leq t\leq 2$}$ wird $ \mbox{$F(t) = \frac{1}{2} + \int_1^t (2-x)\, dx = -1 + 2t - \frac{t^2}{2}$}$.

\includegraphics[height=7cm,width=10cm]{l2.eps}

Es wird $ \mbox{${\operatorname{E}}(X) = \int_{-\infty}^\infty x\, f(x)\, dx = \int_0^1 x^2\, dx + \int_1^2 x\,(2-x)\,dx = 1$}$ (was auch aus Symmetriegründen folgt).

Die Definition der Varianz liefert

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{Var}}(X) & = & \int... ...nt_1^2 x^2\,\cdot (2-x)\, dx - 1 \\ & = & \frac{1}{6}\; . \\ \end{array}$}$

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006