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Mathematik-Online-Lexikon:

Ungleichung von Chebyshev (Würfel)

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Wie groß ist beim Werfen eines Würfels die Wahrscheinlichkeit

  1. eine Eins oder eine Sechs zu werfen?
  2. weder eine Drei noch eine Vier zu werfen?
Gebe den genauen Wert an und approximiere dann mit der Ungleichung von Chebyshev.

Für die Approximation mit der Ungleichung von Chebyshev beschreibe die Zufallsvariable $ \mbox{$X$}$ die Augenanzahl, d.h. $ \mbox{$P(X=k) = \frac{1}{6}$}$ für $ \mbox{$k\in\{1,\dots,6\}$}$.

Dann gilt $ \mbox{${\operatorname{E}}(X) = 3.5$}$ und $ \mbox{${\operatorname{Var}}(X) = {\operatorname{E}}((X-3.5)^2) = \frac{1}{3}(2.5^2+1.5^2+0.5^2) = \frac{35}{12} \approx 2.92$}$.

Die exakte Wahrscheinlichkeit für das jeweilige Ereignis kann direkt im Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum abgelesen werden.

  1. Die Chebyshevsche Ungleichung liefert mit $ \mbox{$a=2.5$}$
    $ \mbox{$\displaystyle P(\text{eine Eins oder eine Sechs})\; =\; P(\vert X-{\o... ...geq2.5) \;\leq\; \frac{1}{2.5^2} \cdot\frac{35}{12} \;\approx\; {0.47}\; , $}$
    der exakte Wert ist $ \mbox{$\frac{1}{3}$}$.

  2. Die Chebyshevsche Ungleichung liefert mit $ \mbox{$a=1.5$}$
    $ \mbox{$\displaystyle P(\text{weder eine Drei noch eine Vier})\; =\; P(\vert ... ...geq1.5) \;\leq\; \frac{1}{1.5^2}\cdot \frac{35}{12} \;\approx\; {1.30}\; . $}$
    In diesem Falle bringt die Abschätzung keine neue Information mit sich, da $ \mbox{$P(\dots)\leq 1$}$ ohnehin gilt. Der exakte Wert $ \mbox{$\frac{2}{3}$}$ ist weit vom Approximationswert entfernt.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006