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Mathematik-Online-Lexikon:

Parameterschätzung (Standardschätzer)


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Gegeben sei ein Stichprobe $ \mbox{$X_1,\dots,X_n$}$ mit $ \mbox{$\mu={\operatorname{E}}(X_i)$}$ und $ \mbox{$\sigma^2={\operatorname{Var}}(X_i)$}$. Berechne $ \mbox{${\operatorname{E}}(\bar{X}_n)$}$, $ \mbox{${\operatorname{Var}}(\bar{X}_n)$}$ und $ \mbox{${\operatorname{E}}(S^2_n)$}$.

Der Erwartungswert ist linear, also

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
{\operatorname{E}}(\bar{X}_n)
&=& ...
... &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu\vspace*{1mm}\\
&=& \mu \; .
\end{array}$}$

Da die $ \mbox{$X_i$}$ unabhängig sind, gilt

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
{\operatorname{Var}}(\bar{X}_n)
&=...
...m_{i=1}^n \sigma^2\vspace*{1mm}\\
&=& \frac{\sigma^2}{n} \; .
\end{array}$}$

Aufwendiger ist folgende Berechnung.

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
{\operatorname{E}}\bigl(\sum_{i=1}^...
...^2
-n\frac{\sigma^2}{n}\vspace*{1mm}\\
&=& (n-1)\sigma^2\; ,
\end{array}$}$
damit folgt
$ \mbox{$\displaystyle
{\operatorname{E}}(S^2_n)\; = \;
{\operatorname{E}}\bigl(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2\bigr)\; =\; \sigma^2\; .
$}$
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006