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Mathematik-Online-Lexikon:

geometrische Verteilung

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Eine Zufallsvariable $ \mbox{$X$}$ ist geometrisch verteilt, wenn für $ \mbox{$k\in\mathbb{N}$}$ gilt $ \mbox{$P(X=k) = \vartheta\,(1-\vartheta)^{k-1}$}$.

Bestimme einen Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter $ \mbox{$\vartheta\in(0,1)$}$ einer geometrisch verteilten Stichprobe $ \mbox{$X_1,\dots,X_n$}$.

Die Likelihood-Funktion ist

$ \mbox{$\displaystyle L(x_1,\dots,x_n,\vartheta) \; = \; P_\vartheta(X_1=x_1)... ...vartheta(X_n=x_n) \; = \; \vartheta^n\,(1-\vartheta)^{(\sum_{i=1}^nx_i)-n}. $}$
Um den zugehörenden Maximum-Likelihood-Schätzer für $ \mbox{$\vartheta$}$ zu bestimmen ist das Maximum von $ \mbox{$L(x_1,\dots,x_n,\vartheta)$}$ in Abhängigkeit von $ \mbox{$\vartheta$}$ zu bestimmen. Die notwendige Bedingung für ein (lokales) Extremum ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 = \frac{d}{d\vartheta}L(x_1,\dots... ...bigl(n\,(1-\vartheta)-\vartheta\, ((\sum_{i=1}^n x_i) -n)\bigr) \end{array}$}$

Aus der Bedingung $ \mbox{$n\,(1-\vartheta)-\vartheta\,((\sum_{i=1}^n x_i) -n) = 0$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle \vartheta \;= \; \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} \; = \; \frac{1}{\bar{x}_n}. $}$

Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist also $ \mbox{$(\bar{X}_n)^{-1}$}$.

Alternativ kann auch $ \mbox{$\frac{d}{d\vartheta}\log(L(x_1,\dots,x_n,\vartheta))$}$ berechnet werden, was oft erhebliche Vereinfachung bedeutet.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006