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Mathematik-Online-Lexikon:

Binomialverteilung

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Bei einer Lieferung von $ \mbox{$n=12$}$ Computern funktioniert ein Computer nicht. Die drei in Frage kommenden Produktionsanlagen haben die Ausschußanteile von $ \mbox{$\vartheta_1=0.05$}$, $ \mbox{$\vartheta_2=0.1$}$ und $ \mbox{$\vartheta_3=0.15$}$. Bestimme mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode, woher die Rechner kommen.

Die Ausschußverteilung ist also binomialverteilt mit Parameter $ \mbox{$\vartheta\in[0,1]$}$, was besagt, daß

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P_\vartheta(X_i=1) & = & \vartheta \\ P_\vartheta(X_i=0) & = & 1-\vartheta\; . \end{array}$}$

Hierzu die Likelihood-Funktion nur an der vorgebenen Stelle zu maximieren.

Die Likelihood-Funktion ist mit $ \mbox{$\sum_{j=1}^n x_j=k$}$ gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle L(x_1,\dots,x_n,\vartheta)\;=\; P_\vartheta(X_1=x_1)\cdots P_\vartheta(X_n=x_n) \; =\; \vartheta^k\,(1-\vartheta)^{n-k}. $}$
Zur Bestimmung des Maximums berechnet man $ \mbox{$L$}$ für $ \mbox{$n=12$}$ und $ \mbox{$k=1$}$:

$ \mbox{$i$}$ $ \mbox{$\vartheta_i$}$ $ \mbox{$L(x_1,\dots,x_{12},\vartheta_i)$}$
1 0.05 0.028
2 0.10 0.031
3 0.15 0.025

Nach der Maximum-Likelihood-Methode stammen die Rechner von Fabrik Nummer zwei.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006