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Mathematik-Online-Lexikon:

Zyklischer Code

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Gegeben ist $ \mbox{$g := X^3+3X^2+2X+4 \subseteq\mathbb{F}_5[X]$}$.

  1. Bestimme $ \mbox{$h\in\mathbb{F}_5[X]$}$ mit $ \mbox{$X^6-1=gh$}$.
  2. Für den durch $ \mbox{$g$}$ erzeugten zyklischen Code $ \mbox{$C_g$}$ der Länge $ \mbox{$6$}$ gebe man eine Erzeuger- und eine Prüfmatrix an.
  3. Zeige, daß $ \mbox{$Y^2+2$}$ irreduzibel in $ \mbox{$\mathbb{F}_5[Y]$}$ ist.
  4. Zeige, daß $ \mbox{$\alpha=Y+3\in\mathbb{F}_5[Y]/(Y^2+2)$}$ eine primitive $ \mbox{$6$}$-te Einheitswurzel über $ \mbox{$\mathbb{F}_5$}$ ist.
  5. Zeige, daß $ \mbox{$d(C_g) = 4$}$ ist.
  6. Codiere $ \mbox{$(4,2,1)$}$.

Lösung

  1. Polynomdivision von $ \mbox{$X^6-1$}$ durch $ \mbox{$g = X^3 + 3X^2 + 2X + 4$}$ ergibt $ \mbox{$h = X^3 + 2X^2 + 2X + 1$}$.
  2. Eine Erzeuger- und eine Prüfmatrix sind
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rl} G := \begin{pmatrix}4&2&3&1&0&0\\ 0... ...&2&2\\ 0&1&2\\ 0&0&1\end{pmatrix}\in\mathbb{F}_5^{6\times 3}. \end{array} $}$
  3. Das Polynom $ \mbox{$Y^2+2$}$ vom Grade $ \mbox{$2$}$ hat keine Nullstellen in $ \mbox{$\mathbb{F}_5$}$. Wäre es reduzibel, so könnte man einen Linearfaktor abspalten welcher eine Nullstelle liefern würde. Das Polynom ist also irreduzibel.
  4. Wir erhalten
    $ \mbox{$k$}$ $ \mbox{$1$}$ $ \mbox{$2$}$ $ \mbox{$3$}$ $ \mbox{$4$}$ $ \mbox{$5$}$ $ \mbox{$6$}$
    $ \mbox{$\alpha^k$}$ $ \mbox{$Y+3$}$ $ \mbox{$Y+2$}$ $ \mbox{$4$}$ $ \mbox{$4Y+2$}$ $ \mbox{$4Y+3$}$ $ \mbox{$1$}$
  5. Aus $ \mbox{$G$}$ liest man ab, daß $ \mbox{$d(C_g)\leq 4$}$ gelten muß. Es ist $ \mbox{$g(\alpha^{-1}) = g(\alpha^0) = g(\alpha^1) = 0$}$. Nach der bekannten Abschätzung für die Minimaldistanz eines zyklischen Codes folgt $ \mbox{$d(C_g)\geq 4$}$. Also ist $ \mbox{$d(C_g) = 4$}$.
  6. Es ist $ \mbox{$u(X) = X^5 + 2 X^4 + 4 X^3$}$. Polynomdivision durch $ \mbox{$g(X)$}$ ergibt einen Rest $ \mbox{$r(X) = 3 X^2 + 4 X$}$. Man verwendet als Codewort dann $ \mbox{$c = (0,1,2,4,2,1)$}$.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006