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Mathematik-Online-Lexikon:

Variationsrechnung (ohne Nebenbedingung)

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Berechne die Extremalen von

$ \mbox{$\displaystyle \int_1^2 x\cdot(y')^2\,dx $}$
mit $ \mbox{$y(1) = 1$}$ und $ \mbox{$y(2) = 2$}$.

Da $ \mbox{$F(x,y,y')=F(x,y')=x(y')^2$}$ nicht explizit von $ \mbox{$y$}$ abhängt, vereinfacht sich die Euler-Lagrange-Bedingung zu

$ \mbox{$\displaystyle 0 = \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'} F = 2(y' + xy''). $}$

Die Substitution $ \mbox{$z = y'$}$ liefert $ \mbox{$z + xz' = 0$}$, was durch $ \mbox{$z(x) = \frac{a}{x}$}$ gelöst wird. Somit wird

$ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; a \log(x) + b\; . $}$
Aus den Randbedingungen bestimmt man durch Einsetzen die Werte $ \mbox{$b = 1$}$ und $ \mbox{$a = (\log 2)^{-1}$}$. Die Lösung des Variationsproblems ist
$ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; \frac{\log(x)}{\log(2)}+1 \;. $}$
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006