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Mathematik-Online-Lexikon:

Variationsrechnung (ohne Nebenbedingung)

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Berechne die Extremalen von

$ \mbox{$\displaystyle \int_0^1 (y')^2 + y^2\, dx $}$
jeweils mit den Randbedingungen
  1. $ \mbox{$y(0) = 0$}$, $ \mbox{$y(1)=1$}$;
  2. $ \mbox{$y(0) = 1$}$, $ \mbox{$y(1)=1$}$.

Da $ \mbox{$F(x,y,y') = (y')^2 + y y' + y^2$}$ nicht explizit von $ \mbox{$x$}$ abhängt, muß die Euler-Lagrange Bedingung (mit noch zu bestimmenden $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$)

$ \mbox{$\displaystyle F - y' F_{y'} \; =\; F - 2(y')^2 \; =\; y^2-(y')^2 \;\stackrel{!}{=}\; c $}$
erfüllt sein.

Die Differentialgleichung $ \mbox{$y' = \pm \sqrt{y^2-c}$}$ wird mit Trennung der Variablen zu

$ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; \pm \sqrt{c} \cdot \cosh(x-a)\; . $}$

  1. Die linke Randbedingung $ \mbox{$0 = y(0) = \sqrt{c} \cosh(-a)$}$ liefert $ \mbox{$c = 0$}$, was der rechten Randbedingung widerspricht, d.h. es existieren keine Extremalen.
  2. Division durch $ \mbox{$c\neq 0$}$ ergibt $ \mbox{$\cosh(-a) = \cosh(1-a)$}$ und damit $ \mbox{$a = \frac{1}{2}$}$. Es folgt
    $ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; \frac{\cosh(x-\frac{1}{2})}{\cosh(\frac{1}{2})}\; . $}$

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006