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Mathematik-Online-Lexikon:

partielle Rumpf-Differentialgleichung


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Bestimme die allgemeine Lösung der partiellen Rumpf-DGL

$ \mbox{$\displaystyle
xz u_x + u_y + y u _z \; =\; 0\; .
$}$

Die Phasen-Differentialgleichungen sind

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{lllll}
\text{(i)} && \frac{dx}{dy} &=& xz\\
\text{(ii)} && \frac{dz}{dy} &=& y.
\end{array}$}$
Aus (ii) folgt $ \mbox{$dz = y\, dy$}$ und damit $ \mbox{$z = \frac{y^2}{2} + c_1$}$ mit einer Konstanten $ \mbox{$c_1\in\mathbb{R}$}$.

Aus (i) folgt mit (ii) zunächst $ \mbox{$\frac{dx}{x} = \left(\frac{y^2}{2}+c_1)\,dy$}$ und damit $ \mbox{$\log x = \frac{y^3}{6} + yc_1 + c_2$}$ mit einer Konstanten $ \mbox{$c_2\in\mathbb{R}$}$; dies kann noch zu $ \mbox{$\exp(c_2) = x\exp(\frac{-y^3}{6} - yc_1) = x\exp(\frac{y^3}{3}-yz)$}$ vereinfacht werden.

Die Charakteristiken der DGL sind also

$ \mbox{$\displaystyle
z-\frac{y^2}{2},\quad x\exp(\frac{y^3}{3}-yz).
$}$

Die allgemeine Lösung der Rumpf-DGL ist für eine beliebige Funktion $ \mbox{$v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$}$ entlang der Charakteristiken dann gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle
v(z-\frac{y^2}{2}, x\exp(\frac{y^3}{3}-yz)).
$}$

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006