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Mathematik-Online-Lexikon:

Lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung (in zwei Variablen)

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Bestimme die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy} \; =\; 0\; . $}$

Es ist $ \mbox{$\Delta(x,y) = -\det\left(\begin{matrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{matrix}\right) = 0$}$ für alle $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$, die Gleichung auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2$}$ also parabolisch. Als Lösung von

$ \mbox{$\displaystyle z_x - z_y \; =\; 0 $}$
erkennen wir $ \mbox{$\xi(x,y) = x+y$}$, wobei in der Tat $ \mbox{$\xi_y$}$ nicht identisch verschwindet. Sei $ \mbox{$\eta(x,y) = x$}$. Variablensubstitution ergibt
$ \mbox{$\displaystyle \tilde u_{\eta\eta} \; =\; 0\; . $}$
Durch zweimalige Integration erhält man schließlich
$ \mbox{$\displaystyle u = \varphi (\xi)\eta + \psi(\xi) = \varphi (x+y)x + \psi(x+y) $}$
mit beliebigen (zweimal differenzierbaren) Funktionen $ \mbox{$\varphi $}$ und $ \mbox{$\psi$}$. Eine Probe empfiehlt sich.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006