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Mathematik-Online-Lexikon:

Lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung (in zwei Variablen)

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Bestimme die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle u_{xx} - 2 u_{xy} + 7 u_{yy} \; =\; 0\; . $}$

Es ist $ \mbox{$\Delta(x,y) = -\det\left(\begin{matrix}1 & -1 \\ -1 & 7\end{matrix}\right) = -6 < 0$}$ für alle $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$, die Gleichung also auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2$}$ elliptisch. Als komplexe Lösung von

$ \mbox{$\displaystyle z_x + (1 - \mathrm{i}\sqrt{6} ) z_y = 0 $}$
ist $ \mbox{$z(x,y) = x(1-\mathrm{i}\sqrt{6}) + y$}$ zu sehen. Mit der Substitution $ \mbox{$\xi(x,y) = x + y$}$ und $ \mbox{$\eta(x,y) = -\sqrt{6}x$}$ erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle \tilde u_{\xi\xi} + \tilde u_{\eta\eta} \; =\; 0\; , $}$
mit der allgemeinen Lösung
$ \mbox{$\displaystyle u = \varphi (\xi + \mathrm{i}\eta) + \psi(\xi - \mathrm{... ...\varphi (x + y - \mathrm{i}x\sqrt{6}) + \varphi (x+y + \mathrm{i}x\sqrt{6}) $}$
mit beliebigen (zweimal differenzierbaren) Funktionen $ \mbox{$\varphi $}$ und $ \mbox{$\psi$}$. Für reellwertige Lösungen ist davon der Real- oder der Imaginärteil zu nehmen.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006