Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Anfangswertproblem (Laplace Transformation)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Löse für $ \mbox{$y = y(t)$}$ das Anfangswertproblem

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y'' + 2 y' + 3 y & = & 6\exp(t)\; , \\ y(0) & = & 1\; , \\ y'(0) & = & 1\; . \\ \end{array}$}$

Mit den Bezeichnungen $ \mbox{$Y := {\operatorname{\mathcal{L}}}(y)$}$, $ \mbox{$y(0) := y_0$}$ und $ \mbox{$y'(0) = y'_0$}$ wird die Gleichung unter Laplace-Transformation zu

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (s^2 Y(s) - s y_0 - y'_0) + 2 ( s Y(... ...+ 3) Y(s) - (s+3) \\ & \overset{!}{=} & \frac{6}{s-1}\; . \\ \end{array}$}$
Wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{\mathcal{L}}}(\exp(t))(s) \; =\; Y(s) \; =\; \frac{6}{(s-1)(s^2+2s+3)} + \frac{s+3}{s^2+2s+3} \; =\; \frac{1}{s-1}\; . $}$
Mithin ist $ \mbox{$y(t) = \exp(t)$}$ die Lösung des Anfangswertproblems. Probe!
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006