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Mathematik-Online-Lexikon:

Anfangswertproblem (Laplace Transformation)


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Löse für $ \mbox{$y = y(t)$}$ das Anfangswertproblem

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
y'' + 2 y' + 3 y & = & 6\exp(t)\; , \\
y(0) & = & 1\; , \\
y'(0) & = & 1\; . \\
\end{array}$}$

Mit den Bezeichnungen $ \mbox{$Y := {\operatorname{\mathcal{L}}}(y)$}$, $ \mbox{$y(0) := y_0$}$ und $ \mbox{$y'(0) = y'_0$}$ wird die Gleichung unter Laplace-Transformation zu

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
(s^2 Y(s) - s y_0 - y'_0) + 2 ( s Y(...
...+ 3) Y(s) - (s+3) \\
& \overset{!}{=} & \frac{6}{s-1}\; . \\
\end{array}$}$
Wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle
{\operatorname{\mathcal{L}}}(\exp(t))(s) \; =\; Y(s) \; =\; \frac{6}{(s-1)(s^2+2s+3)} + \frac{s+3}{s^2+2s+3} \; =\; \frac{1}{s-1}\; .
$}$
Mithin ist $ \mbox{$y(t) = \exp(t)$}$ die Lösung des Anfangswertproblems. Probe!
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006