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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Interpolation

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Eine Funktion $ f(x)$ kann aus Daten

$\displaystyle (x_i,f_i),\quad i=1,\ldots,n\, , $

durch Interpolation näherungsweise rekonstruiert werden. Verwendet man einen linearen Ansatz

$\displaystyle f(x) \approx p(x) = \sum_{j=1}^n c_j p_j(x) $

mit geeigneten Basisfunktionen $ p_j$, so ergibt sich aus den Interpolationsbedingungen

$\displaystyle f_i = p(x_i) = \sum_{j=1}^n c_j p_j(x_i),\quad i=1,\ldots,n\, $

das lineare Gleichungssystem für die $ c_j$ als

$\displaystyle Ac=b\,, $

mit $ a_{i,j}=p_j(x_i)$ und $ b_i=f_i$.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{b_interpolation}

In dem abgebildeten Beispiel einer Tour-de-France-Etappe ist mit jedem Datenpunkt eine Exponentialfunktion

$\displaystyle p_i(x) = \exp\left(-\left(\frac{x-x_i}{10}\right)^2\right) $

assoziiert. Durch das starke Abklingen von $ p_i$ für $ \vert x-x_i\vert\to\infty$ wird erreicht, dass sich bei der Interpolation Änderungen in Datenpunkten vorwiegend lokal auswirken.
(Autoren: App/Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006