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Mathematik-Online-Lexikon:

Vollständige Induktion für Summe der Quadratzahlen

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Die Formel für die Summe der Quadratzahlen,

$\displaystyle A(n):\ \sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \,, $

kann mit vollständiger Induktion bewiesen werden.

Induktionsanfang ($ A(1)$):

$\displaystyle \sum_{i=1}^{1} i^2 = 1^2 = \frac{1\cdot2\cdot3}{6} \,. $

Induktionsschluß ( $ A(n)\implies A(n+1))$:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2 + (n+1)^2 = \underbrace{\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}_{ A(n)} + (n+1)^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{(n+1)\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]}{6} = \displaystyle\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\,.$  

Die Induktionshypothese wurde, wie angedeutet, bei der dritten Gleichheit benutzt.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  6. 2007