Mathematik-Online-Lexikon: Lösung eines LGS in Echelon-Form

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	Lösung eines LGS in Echelon-Form

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Übersicht

Im Folgenden werden mehrere typische Fälle diskutiert.

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1&5&0&3\\ 0&4&-1&3\\ 0&0&-2&7\\ 0... ..._4\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 9\\ 1 \end{array}\right)$
Durch Rückwärts-Einsetzen erhält man rekursiv die eindeutige Lösung

$\displaystyle x=(1,-1,-1,1)^{\operatorname t}.$
, $c_4\ne 0$

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrr} 4&1&-1&-2&2\\ 0&2&0&7&1\\ 0&0&0&1... ... x_5\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}2\\ 3\\ 5\\ 1 \end{array}\right)$
In der letzten Zeile ergibt sich $0\cdot x=1$ , damit hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung.
,

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrr} 4&1&-1&-2&2\\ 0&2&0&7&1\\ 0&0&0&1... ...\\ x_5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-5\\ 2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$
Da $c_{k+1}=0$ , ist das lineare Gleichungssystem lösbar. Wegen $\operatorname{Rang} D = 3 = n-2$ ist die Lösung jedoch nicht eindeutig. Es existieren 2 linear unabhängige Lösungen des homogenen Systems und die allgemeine Lösung hat die Form

$\displaystyle x = x_s + \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2\,, \alpha_j \in \mathbb{R}$
mit einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems.
Die Vektoren bestimmt man durch kanonische Wahl der nicht zu den Pivot-Spalten gehörigen Unbekannten und berechnet die restlichen Koeffizienten über das homogene System:

$\displaystyle (x_3=1, x_5=0) \rightarrow v_1=\left(\begin{array}{c} 1/4 \\ 0 \\... ...w v_2 = \left(\begin{array}{c} -7/4 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right).$
Eine spezielle Lösung

$\displaystyle x_s = \left(\begin{array}{c} 5/4 \\ -6 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)$
erhält man durch Setzen von .

(Autoren: Höllig/Streit)

[Verweise]

automatisch erstellt am 25. 1. 2006