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Mathematik-Online-Lexikon:

Mehrdimensionales Integral

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Es wird das Integral der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=xy $

über dem Bereich

$\displaystyle V:\, 0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1+x^2 $

als Grenzwert von Riemann-Summen (Approximation mit Treppenfunktionen) berechnet.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{bsp_integral1}

Die Approximation mit einem Quadratgitter der Gitterweite $ h=1/n$ führt auf die Riemann-Summe

$\displaystyle h^2 \sum_{0\le j<n}\ \sum_{0\le kh <1+(jh)^2} (jh)(kh) = h^4 \sum_{0\le j<n} j \sum_{0\le k <n+j^2/n} k \,. $

Vernachlässigt man Terme höherer Ordnung und berücksichtigt, dass

$\displaystyle \sum_{0\le\ell<r} \ell^m = r^{m+1}/(m+1) + O(r^m) \,, $

so ergibt sich
    $\displaystyle \frac{1}{n^4}\,\sum_{0\le j<n} j\left((n+j^2/n)^2/2+O(n)\right)$  
    $\displaystyle \qquad =\frac{1}{n^4}\,\sum_{0\le j<n} jn^2/2 + j^3 + j^5/(2n^2)+O(n^2)$  
    $\displaystyle \qquad = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\right) + O(\underbrace{1/n}_{h}) \,.$  

Nach Bilden des Grenzwerts für $ n\to\infty$ erhält man $ 7/12$ als Wert des Integrals.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 22.  9. 2016