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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Grobeinteilung der Quadriken


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Gegeben sei die Quadrik

$\displaystyle Q:\quad x_1^2 +\lambda x_2^2 +2x_2 +\lambda =0
$

mit $ \lambda\in\mathbb{R}$, bzw. in Matrixschreibweise

$\displaystyle Q:\quad x^{\operatorname t}A x + 2b^{\operatorname t}x + c =0
$

mit

\begin{displaymath}
A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \lambda\\
\end{arr...
...0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & \lambda\\
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Für $ \lambda=0$ ist $ \operatorname{Rang} A =1$, ansonsten ist $ \operatorname{Rang} A =2$. Für $ \lambda=\pm 1$ ist $ \operatorname{Rang} \tilde{A} =2$, ansonsten ist $ \operatorname{Rang} \tilde{A} =3$.

Somit ist $ Q$ für $ \lambda=0$ eine parabolische ( $ \operatorname{Rang}\tilde A=\operatorname{Rang}A+2$), für $ \lambda=\pm 1$ eine kegelige ( $ \operatorname{Rang}\tilde A=\operatorname{Rang}A$) und für alle anderen Werte von $ \lambda$ eine Mittelpunktsquadrik ( $ \operatorname{Rang}\tilde A=\operatorname{Rang}A+1$).


[Verweise]

  automatisch erstellt am 13.  7. 2018