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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

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Es soll die Normalform und der Typ der Quadrik

$\displaystyle Q: \quad 3x_1^2+3x_2^2+10x_1x_2-14\sqrt{2}x_1-2\sqrt{2}x_2-18=0 $

bestimmt werden.

Ausgehend von der Matrixform der quadratischen Form,

$\displaystyle x^{\operatorname t}A x+2b^{\operatorname t}x+c= x^{\operatorname ... ...n{array}{rr}3 & 5 \\ 5 & 3\end{array}\right)x+ 2\sqrt{2}\left(-7,-1\right)x-18 $

bestimmt man zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $ A$. Das charakteristische Polynom

$\displaystyle (3-\lambda)^2-25=9-6\lambda +\lambda^2-25 =\lambda^2-6\lambda-16 $

hat die Nullstellen

$\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36+64}}{2}=3\pm5 $

Einen normierten Eigenvektor zu $ \lambda_1=-2$ erhält man durch Lösen des linearen Gleichungssystems

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr}5 & 5\\ 5 &5\end{array}\right) v_1 = 0 $

als $ v_1= \frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1)^{\operatorname t}$. Da der zweite Eigenvektor senkrecht auf dem ersten stehen muss, folgt $ v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1)^{\operatorname t}$, wobei das Vorzeichen so gewählt wurde, dass die Determinante der Transformationsmatrix

$\displaystyle U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\ -1 & 1\end{array}\right) $

positiv ist. Die mit $ x=Uy$ transformierte Gleichung hat die Form
0 $\displaystyle =$ $\displaystyle x^$t$\displaystyle Ax+2b^$t$\displaystyle x+c$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y^{\operatorname t}U^{\operatorname t} AU y+2\left(b^{\operatorname t}U\right)y + c$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -2y_1^2+8y_2^2-12y_1-16y_2-18\,.$  

Quadratisches Ergänzen liefert

0 $\displaystyle =$ $\displaystyle -2y_1^2+8y_2^2-12y_1-16y_2-18$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -2(y_1+3)^2+18+8(y_2-1)^2-8-18$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -2z_1^2+8z_2^2-8$  

beziehungsweise

$\displaystyle -\frac{\xi_1^2}{2^2}+\frac{\xi_2^2}{1^2}=1 $

$ Q$: ist also eine Hyperbel mit Halbachsenlängen $ 2$ und $ 1$ und Mittelpunkt

$\displaystyle \xi_M = z_M=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\quad\implies\quad ... ...plies\quad x_M = U y_M = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}-2\\ 4\end{pmatrix}$

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[Verweise]
  automatisch erstellt am 13.  7. 2018