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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Euklidische Normalformen der dreidimensionalen Quadriken

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Es soll die Normalform und der Typ der Quadrik

$\displaystyle Q: \quad x^{\operatorname t}\left(\begin{array}{rrr}5 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 1\end{array}\right)x+2 \left(-2,1,2\right)x+2=0 $

bestimmt werden.

Das charakteristische Polynom der Matrix,

$\displaystyle p(\lambda)=\lambda^3-9\lambda^2-9\lambda+81\,, $

hat die Nullstellen

$\displaystyle \lambda_1=9\,,\quad \lambda_2=3\,,\quad \lambda_3=-3\,. $

Entsprechende normierte Eigenvektoren zu den Eigenwerten $ \lambda_i$ sind

$\displaystyle v_1=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)\... ...)\,,\quad v_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)\,, $

wobei die Vorzeichen so gewählt sind, dass ein Rechtssystem entsteht. Als orthogonale Transformationsmatrix erhält man

$\displaystyle U=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 2 & -2 & 1\\ 2 & 1 &-2\\ 1&2&2\end{array}\right)\,. $

Die mit $ x=Uy$ transformierte Gleichung hat die Form

$\displaystyle y^{\operatorname t}\left(\begin{array}{rrr}9 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right)y+2 \left(0,3,0\right)y+2=0\,. $

Quadratisches Ergänzen liefert

0 $\displaystyle =$ $\displaystyle 9y_1^2+3y_2^2-3y_3^2+6y_2+2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 9y_1^2+3(y_2+1)^2-6y_2-3-3y_3^2+6y_2+2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 9z_1^2+3z_2^2-3z_3^2-1$  

beziehungsweise

$\displaystyle \frac{z_3^2}{\frac{1}{3}}-\frac{z_1^2}{\frac{1}{9}}-\frac{z_2^2}{\frac{1}{3}}+1=0\,. $

Die Gleichung stellt also ein einschaliges Hyperboloid mit Hauptachsenlängen

$\displaystyle a_3 = \sqrt{1/3},\quad a_1 = 1/3,\quad a_2 = \sqrt{1/3} $

und Mittelpunkt

$\displaystyle x_M = U y_M = U\underbrace{z_M}_{=(0,0,0)^{\text{t}}} - U \left(... ...nd{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2/3\\ -1/3\\ -2/3\end{array}\right) $

dar.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 13.  7. 2018