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Mathematik-Online-Lexikon:

Ableitung von f(x)=x^2

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Für die Ableitung der Funktion $ f(x)=x^2$ erhält man definitionsgemäß

$\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0} \frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to0} (2x+h)=2x\,. $

Die zweite Ableitung ist konstant: $ f^{\prime\prime}(x) = 2$.

Allgemein folgt für ein beliebiges Monom $ f(x) = x^n$, $ n\in\mathbb{N}$, mit Hilfe der binomischen Formel

$\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\binom{n}{1} x^{n-1}h + O(h^2)}{h} = nx^{n-1}\,, $

wobei $ O(h^2)$ Terme der Ordnung $ h^2$ bezeichnet.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 14.  6. 2016