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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Stammfunktion und bestimmtes Integral

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Eine Stammfunktion von $ f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ist $ F(x)=\arctan x$ . Folglich ist

$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \arctan(1)-\arctan(0) = \frac{\pi}{4}\,. $

Durch Differenzieren verifiziert man, dass

$\displaystyle F(x)=-\ln ( \cos x) $

eine Stammfunktion von $ f(x)=\tan x$ ist:

$\displaystyle F'(x)=-\frac{1}{\cos x}(-\sin x). $

Folglich ist

$\displaystyle \int_0^{\pi/4} \tan x\, dx = -\left[ \ln (\cos x) \right]_0^{\pi/4} = -\ln \left(\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) \approx 0.347\,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  4. 2008