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Mathematik-Online-Lexikon:

Gestörtes lineares System

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Eine typische Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes ist ein gestörtes lineares System

$\displaystyle Ax + \varepsilon f(x) = b $

mit einer quadratischen invertierbaren Matrix $ A$ und Lipschitz-stetiger Funktion $ f$ (Konstante $ c_f$). Zur Bestimmung der Lösung wird die Iteration

$\displaystyle x \leftarrow g(x) = A^{-1}(b-\varepsilon f(x)) $

verwendet. Um die Konvergenz zu beweisen, verifiziert man die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes für die abgeschlossene Menge

$\displaystyle D=\{y:\ \Vert y-p\Vert\le r\},\quad p=A^{-1} b \,. $

(i)     
$ g(D)\subset D$: Für $ x\in D$ gilt

$\displaystyle \Vert g(x)-p\Vert = \varepsilon \Vert A^{-1}f(x)\Vert \le \varepsilon \Vert A^{-1}\Vert \max_{y\in D} \Vert f(y)\Vert \,.$

Damit liegt $ g(x)$ in $ D$ (Abstand zu $ p$ $ \le r$), falls

$\displaystyle \varepsilon \le \frac{r}{\Vert A^{-1}\Vert \max_{y\in D} \Vert f(y)\Vert} \,. $

(ii) Kontraktionsbedingung:
Die Abschätzung

$\displaystyle \Vert g(x)-g(y)\Vert = \varepsilon \Vert A^{-1}(f(x)-f(y)\Vert \le \underbrace{\varepsilon \Vert A^{-1}\Vert c_f}_{c} \Vert x-y\Vert $

zeigt, dass $ g$ kontrahierend ist, falls $ c<1$, d.h. falls

$\displaystyle \varepsilon < \frac{1}{\Vert A^{-1}\Vert c_f} \,. $

Beide Bedingungen ((i) und (ii)) sind für hinreichend kleines $ \varepsilon$ erfüllt.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 22.  9. 2016