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Mathematik-Online-Lexikon:

Extremum bivariater Funktionen entlang von Kurven

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Für das Minimierungsproblem

$\displaystyle f(x,y)=(x-3)(y-3)\rightarrow\min,\quad g(x,y)= x^2+y^2-2=0 \,, $

lautet die Langrange-Bedingung

$\displaystyle (y-3,x-3)=\lambda(2x,2y)\,. $

Elimination von $ \lambda$ ($ x=0$, $ y=3$ ist wegen der Nebenbedingung nicht möglich) ergibt

$\displaystyle y(y-3)-x(x-3)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (y-x)(x+y-3)=0 \,. $

In Verbindung mit der Nebenbedingung $ x^2+y^2-2=0 $ erhält man als mögliche Extremstellen $ (1,1)$ und $ (-1,-1)$. Da eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge sowohl ein Minimum als auch ein Maximum besitzt, zeigt ein Vergleich der Funktionswerte, dass $ f$ bei $ (1,1)$ minimal und bei $ (-1,-1)$ maximal wird.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 26.  1. 2017