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Mathematik-Online-Lexikon:

Lineare Zielfunktion

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Gesucht sind die Extrema von

$\displaystyle f(x,y,z) = x + 2y - z$

unter den Nebenbedingungen

$\displaystyle x^2 + y^2 - 8 = 0,\quad x+z-4 = 0\,, $

die als Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene eine Ellipse beschreiben.

Die Jacobi-Matrix für die Nebenbedingungen ist

$\displaystyle \begin{pmatrix}2x & 2y & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,. $

Sie hat nur für $ x=y=0$ keinen vollen Rang. Dieser Fall kann aufgrund der Nebenbedingungen nicht auftreten. Zu einem Extremum $ (x,y,z)$ existieren folglich jeweils Lagrange-Multiplikatoren $ \lambda_1, \lambda_2$ so, dass

$\displaystyle (1, 2 , -1) = (\lambda_1, \lambda_2) \begin{pmatrix}2x & 2y & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $

bzw.

$\displaystyle 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\lambda_1 x + \lambda_2$  
$\displaystyle 2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\lambda_1 y$  
$\displaystyle -1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda_2 \,.$  

Setzt man $ \lambda_1 =1/y$ und $ \lambda_2=-1$ in die erste Gleichung ein, so folgt $ x = y$. Aus den Nebenbedingungen erhält man als mögliche Extrema $ (2,2,2)$ und $ (-2,-2,6)$. Da auf der Ellipse sowohl Minimum als auch Maximum existieren müssen, zeigt ein Vergleich der Funktionswerte

$\displaystyle f(-2,-2,6)=-12<4=f(2,2,2)\,, $

dass $ f$ bei $ (-2,-2,6)$ minimal und bei $ (2,2,2)$ maximal wird.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 26.  1. 2017