Mathematik-Online-Lexikon: Landwirt

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	Landwirt

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Übersicht

Ein Landwirt beschäftigt 25 Arbeitskräfte und möchte die Viehhaltung auf seinen insgesamt 120 Hektar Weidefläche optimieren. Er kalkuliert 1 Hektar Weidefläche für 10 Schafe und 3 Hektar für 10 Kühe. Den Arbeitsaufwand veranschlagt er mit einem Arbeiter je 40 Schafe bzw. 20 Kühe. Der Gewinn beträgt 100 EUR pro Schaf und 250 EUR pro Kuh. Wie soll der Landwirt seine Weide aufteilen, wenn er dabei berücksichtigt, dass der Staat eine Flächenstillegungsprämie von 500 EUR pro Hektar gewährt?

Gesucht ist also eine Lösung von:

$\displaystyle S$	$\displaystyle \geq$	0
$\displaystyle K$	$\displaystyle \geq$	0
$\displaystyle \frac{1}{10} S + \frac{3}{10} K$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle 120$
$\displaystyle \frac{1}{40} S + \frac{1}{20} K$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle 25$
$\displaystyle \frac{1}{10} S + \frac{3}{10} K + B$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 120$
$\displaystyle 100 S + 250 K + 500 B$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \max$

Setzt man B aus der 2. Gleichung in die Zielfunktion ein und formt die 1. und 5. Gleichung um, so erhält man

$\displaystyle - S - 3 K$	$\displaystyle \geq$	$\displaystyle - 1200$
$\displaystyle S$	$\displaystyle \geq$	0
$\displaystyle K$	$\displaystyle \geq$	0
$\displaystyle - S - 2 K$	$\displaystyle \geq$	$\displaystyle - 1000$
$\displaystyle 50 S + 100 K + 60\,000$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \max\, ,$

also das Lineare Programm $c^{\text{t}} x \to \min, Ax \geq b$ mit

$\displaystyle c = \begin{pmatrix}- 50 \\ - 100 \end{pmatrix},\quad A = \begin{... ...d{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -1200 \\ -100 \end{pmatrix} \, .$