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Mathematik-Online-Lexikon:

Axialsymmetrische Skalarfelder und Vektorfelder


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Für das axialsymmetrische Skalarfeld $ U(x,y,z)=\Phi\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=\Phi(\varrho)$ ist

$\displaystyle \operatorname{grad}U =
\partial_\varrho\Phi \vec{e}_\varrho
$

und

$\displaystyle \Delta U = \frac{1}{\varrho}\, \partial_\varrho
\left( \varrho \partial_\varrho \Phi \right) =
\Phi'' + \varrho^{-1}\Phi'
\,.
$

Speziell erhält man für $ U(x,y,z)=\varrho^s$

\begin{displaymath}
\operatorname{grad}U =
s\varrho^{s-1}\vec{e}_\varrho =
s(x^2...
.../2-1}\,\left(
\begin{array}{c}
x\\ y\\ 0\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

und

$\displaystyle \Delta U = s^2 \varrho^{s-2}
\,.
$

Die Divergenz des quellenförmigen Feldes

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\psi(\varrho)\vec{e}_\varrho
$

ist

$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F} =
\frac{1}{\varrho} \partial_\varrho \left(\varrho \psi\right)
= \psi' + \varrho^{-1} \psi \,.
$

Speziell erhält man für $ \vec{F}(x,y,z)=\varrho^s \vec{e}_\varrho$

$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}=
(s+1)\varrho^{s-1}
\,.
$

Für $ s=-1$ ist das Feld bis auf die Singularität im Ursprung divergenzfrei.

Die Rotation des wirbelförmigen Feldes

$\displaystyle \vec{F}
(x,y,z)=\psi(\varrho)\vec{e}_\varphi
$

ist

\begin{displaymath}
\operatorname{rot} \vec{F} =
\frac{1}{\varrho} \partial_\va...
...}
0 \\ 0 \\ \psi' + \varrho^{-1} \psi\\
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Speziell erhält man für $ \vec{F}(x,y,z)=\varrho^s \vec{e}_\varphi$

\begin{displaymath}
\operatorname{rot}\vec{F} = \left(
\begin{array}{c}
0 \\ 0 \\ (s+1)\varrho^{s-1}\\
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Für $ s=-1$ ist das Feld bis auf die Singularität im Ursprung rotationsfrei.
[Verweise]

  automatisch erstellt am 2. 10. 2013