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Mathematik-Online-Lexikon:

Radialsymmetrische Skalarfelder und Vektorfelder

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Für das radialsymmetrische Skalarfeld $ U(x,y,z)=\Phi\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=\Phi(r)$ ist

$\displaystyle \operatorname{grad}U = \partial_r\Phi \vec{e}_r $

und

$\displaystyle \Delta U = \frac{1}{r^2}\partial_r\left(r^2\partial_r \Phi \right) = \Phi'' + \frac{2}{r}\Phi' \,. $

Speziell erhält man für $ U(x,y,z)=r^s$

\begin{displaymath} \operatorname{grad}U = sr^{s-1}\vec{e}_r = s(x^2+y^2+z^2)^{s/2-1}\,\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

und

$\displaystyle \Delta U = s(s+1) r^{s-2} \,. $

Für $ s=-1$ ist $ U$ bis auf die Singularität im Ursprung harmonisch.

Die Divergenz des quellenförmigen Feldes

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)= \psi(r)\vec{e}_r $

ist

$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F} = \frac{1}{r^2}\partial_r\left(r^2\partial_r \psi\right) = \psi' + \frac{2}{r} \psi \,. $

Speziell erhält man für $ \vec{F}(x,y,z)=r^s \vec{e}_r$

$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}= (s+2)r^{s-1} \,. $

Für $ s=-2$ ist das Feld bis auf die Singularität im Ursprung divergenzfrei.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 30.  9. 2013