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Mathematik-Online-Lexikon:

Radialsymmetrische Skalarfelder und Vektorfelder


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Für das radialsymmetrische Skalarfeld $ U(x,y,z)=\Phi\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=\Phi(r)$ ist

$\displaystyle \operatorname{grad}U =
\partial_r\Phi \vec{e}_r
$

und

$\displaystyle \Delta U =
\frac{1}{r^2}\partial_r\left(r^2\partial_r \Phi
\right) =
\Phi'' +
\frac{2}{r}\Phi'
\,.
$

Speziell erhält man für $ U(x,y,z)=r^s$

\begin{displaymath}
\operatorname{grad}U =
sr^{s-1}\vec{e}_r =
s(x^2+y^2+z^2)^{s/2-1}\,\left(
\begin{array}{c}
x\\ y\\ z\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

und

$\displaystyle \Delta U = s(s+1) r^{s-2}
\,.
$

Für $ s=-1$ ist $ U$ bis auf die Singularität im Ursprung harmonisch.

Die Divergenz des quellenförmigen Feldes

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=
\psi(r)\vec{e}_r
$

ist

$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F} =
\frac{1}{r^2}\partial_r\left(r^2\partial_r \psi\right) =
\psi' + \frac{2}{r} \psi
\,.
$

Speziell erhält man für $ \vec{F}(x,y,z)=r^s \vec{e}_r$

$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}=
(s+2)r^{s-1}
\,.
$

Für $ s=-2$ ist das Feld bis auf die Singularität im Ursprung divergenzfrei.
[Verweise]

  automatisch erstellt am 30.  9. 2013