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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Schema von Aitken-Neville

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Zur Illustration des Schemas von Aitken-Neville wird aus den Daten
$ x_i$ 0 1 3
$ f_i$ 7 2 4
ein Zwischenwert an der Stelle $ x = 2$ mit quadratischer Interpolation geschätzt. Man erhält
$\displaystyle p_0^1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x_1 - 2}{x_1 - x_0} \cdot 7 + \frac{2 - x_0}{x_1 - x_0} \cdot 2 = \frac{1 - 2}{1 - 0} \cdot 7 + \frac{2 - 0}{1 - 0} \cdot 2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -3\,,$  
$\displaystyle p_1^1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x_2 - 2}{x_2 - x_1} \cdot 2 + \frac{2 - x_1}{x_2 - x_1} \cdot 4 = \frac{3 - 2}{3 -1} \cdot 2 + \frac{2 - 1}{3 - 1} \cdot 4$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 3$  

und

$\displaystyle p(2) = p_0^2 = \frac{x_2 - 2}{x_2 - x_0} \cdot (-3) + \frac{2 - x... ...cdot 3 = \frac{3 - 2}{3 - 0} \cdot (-3) + \frac{2 - 0}{3 - 0} \cdot 3 = 1\,. $

Eine Verbesserung der Genauigkeit durch Hinzufügen weiterer Daten ist sehr einfach, das Dreiecksschema wird um eine weitere Zeile ergänzt. Beispielsweise erhält man für $ \left(x_3, f_3 \right)=(4,6.5)$


        
$ \cdots$            
$ p_{2}^0 =4$   $ 3$   $ 1$    
  $ \searrow$   $ \searrow$   $ \searrow$  
$ p_3^0=6.5 $ $ \rightarrow$ $ 1.5$ $ \rightarrow$ $ 2.5$ $ \rightarrow$ $ 1.75 = p_0^3$


d.h. $ f(2) \approx 1.75 $ als neue Schätzung.

(Autor: B. Wohlmuth)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 29.  4. 2010