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Mathematik-Online-Lexikon:

Trapezregel bei Bessel-Funktionen

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Die Bessel-Funktionen $ \mathcal{J}_k$ besitzen für ganzzahliges $ k$ die Integraldarstellung

$\displaystyle \mathcal{J}_k(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \underbrace{\cos(kz-x\sin(z))}_{f(z)}\,dz $

und sind für $ k = 0,\ldots ,4$ in der folgenden Abbildung dargestellt.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Trapezregel_Bessel.eps}

Bei der Berechnung mit der Trapez-Regel nutzt man aus, dass

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(f(a)+f(a+2\pi)\right) = f(a) $

und dass $ f$ gerade ist. Wählt man die Punkte

$\displaystyle z_{\mathit i} = -\pi+\frac{1+2i}{2}\, \frac{2\pi}{n}\,, $

so ist die Summe

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(z_{\mathit i}) = 2\sum\limits_{i=n/2}^{n-1} f(z_{\mathit i}) $

zu bilden.

Wie die Folge der Approximationen von $ \mathcal{J}_1(2)$ mit $ n=4,8, \ldots 64$ Punkten zeigt, ist die Konvergenz äußerst schnell.

\begin{tabular}{r\vert l} $n$\ & \\ \hline & \\ [-1.5ex] 4 & \underline{0}.4546... ... & \\ [-1.5ex] 64 &\underline{0.57672480775687338720244824226913} \end{tabular}

Diese hohe Genauigkeit der Trapezregel ist typisch für glatte periodische Integranden und kann mit einer genaueren Darstellung des Fehlers, der Euler-Maclaurinschen Summenformel, begründet werden.

(Autoren: Höllig/Hörner)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  5. 2010