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Mathematik-Online-Lexikon:

Flächenberechnung mit dem Gauß'schen Integralsatz


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Es soll der Flächeninhalt des Gebiets $ A$, das von einer Ellipse $ C$ mit Halbachsenlängen $ a, b > 0$ berandet wird, berechnet werden.

Parametrisiert man die Randkurve $ C$ durch

\begin{displaymath}
\vec{r}(t)=\left(
\begin{array}{c}
a \cos t\\
b \sin t\\
\end{array}\right),\quad t\in [0,2\pi]\,,
\end{displaymath}

so erhält man für den Flächeninhalt mit dem Satz von Gauß
$\displaystyle \iint\limits_A 1 \,dA$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\frac{1}{2} \int\limits_{C} \vec{r} \times d \vec{r} = \frac{...
...n{array}{r}
-a \sin t\,dt\\
b \cos t\,dt\\
\end{array}\right)\end{displaymath}  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} ab \int\limits_0^{2\pi} 1 \,dt
=\pi ab\,.$  

siehe auch:


  automatisch erstellt am 9. 10. 2013