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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Potential eines Gradientenfeldes

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Als Beispiel werden das Vektorfeld

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y)=\left( \begin{array}{c} x\\ -y\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

und die Wege

$\displaystyle C_1: \quad$ $\displaystyle \vec{r}_1(t)=\left( \begin{array}{c} \cos t \\ \sin t\\ \end{array}\right),\quad t \in[0,\pi/2]\,,$    
$\displaystyle C_2:\quad$ $\displaystyle \vec{r}_2(t)=\left( \begin{array}{c} 1-t \\ 0\\ \end{array}\right),\quad t \in[0, 1]\,,$    
$\displaystyle C_3:\quad$ $\displaystyle \vec{r}_3(t)=\left( \begin{array}{c} 0\\ t\\ \end{array}\right),\quad t \in[0, 1]\,,$    

betrachtet.

\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_potential}

Für das Arbeitsintegral von $ (1,0)$ nach $ (0,1)$ entlang $ C_1$ erhält man

$\displaystyle \int\limits_{C_1} \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \int\limits_0^{\pi/2}\left( \begin{array}{r} \cos t\\ -\sin t\\... ... t\\ \cos t\\ \end{array}\right)\,dt = \int\limits_0^{\pi/2} -2\sin t\cos t\,dt$    
  $\displaystyle = [\cos^2 t]_0^{\pi/2} = -1$    

und entlang $ C_2+C_3$


$\displaystyle \int\limits_{C_2+C_3} \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \int\limits_0^1\left( \begin{array}{c} 1-t\\ 0\\ \end{array}\ri... ... \end{array}\right)\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \int\limits_0^1 -1\,dt = -1\,.$    

Verwendet man das Potential

$\displaystyle U(x,y)=\frac{1}{2}(x^2-y^2) $

von $ \vec{F}$, so erhält man für beliebige Wege $ C$ von $ (1,0)$ nach $ (0,1)$ ebenfalls

$\displaystyle \int\limits_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = U(0,1) - U(1,0) = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2} = -1\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013