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Mathematik-Online-Lexikon:

Potential eins radialen Feldes

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Für ein radialsymmetrisches Skalarfeld

$\displaystyle U(x,y,z)=\psi(r) $

gilt

$\displaystyle \operatorname{grad}U = \psi'\,\vec{e}_r\,. $

Deshalb besitzt ein radiales Vektorfeld $ \vec{F} = f\vec{e}_r$ immer ein Potential. Man muss lediglich die Stammfunktion von $ f$ bilden.

Beispielsweise ist für das Gravitationsfeld mit $ f(r)=-{\gamma Mm} r^{-2}$, d.h.

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = -{\gamma Mm} r^{-2}\vec{e}_r, $

$ U={\gamma Mm} r^{-1}$ ein Potential.

Um von einem Punkt $ P$ aus das Gravitationsfeld zu verlassen, muss damit die Arbeit

$\displaystyle -\left(\lim_{\vert\vec{q}\vert\to\infty} {\gamma Mm}/\vert\vec{q}\vert - {\gamma Mm}/\vert\vec{p}\vert\right) = {\gamma Mm}/\vert\vec{p}\vert $

gegen das Kraftfeld aufgewendet werden. Setzt man dies zur kinetischen Energie $ (m/2)v^2$ in Beziehung, so wird bei einem antriebslosen Flug eine Startgeschwindigkeit

$\displaystyle v = \sqrt{\frac{2{\gamma M}}{\vert\vec{p}\vert}} $

benötigt. Für $ \gamma =6.7 \cdot 10^{-11} \frac{\textrm{m}^3}{\textrm{kg}\textrm{s}^2}$ und die Erdmasse $ M=6.0\cdot 10^{24} \textrm{kg}$ ergibt sich beim Start von der Erdoberfläche, also bei $ \vert\vec{p}\vert=R=6.4\cdot 10^6 \textrm{m}$, eine Fluchtgeschwindigkeit von

$\displaystyle v= \sqrt{\frac{2\cdot 6.7\cdot 6.0}{6.4}\,10^7}\, \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \approx 11.2\,\textrm{km}/\textrm{s}\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013