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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Existenz eines Potentials


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Zu bestimmen ist das Potential des ebenen Vektorfelds

\begin{displaymath}
\vec{F}(x,y)=\left(
\begin{array}{c}
\sin y\\ x\cos y \\
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Als festen Punkt $ P_0$ wählen wir den Ursprung und als Kurve von $ O$ nach $ P$ die direkte Verbindung

\begin{displaymath}
C_P:\quad \vec{r}(t)=\left(
\begin{array}{c}
p_1t\\ p_2t\\
\end{array}\right),\quad t\in[0,1]\,.
\end{displaymath}

Für die Potentialfunktion $ U$ erhalten wir dann

$\displaystyle U(P)$ $\displaystyle = \int\limits_{C_P} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int\limits_0^1 \left...
...rray}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2\\ \end{array}\right) \,dt$    
  $\displaystyle = \int\limits_0^1 p_1\sin(p_2t) +p_1p_2t\cos(p_2t)\,dt = \left[p_1t\sin(p_2t)\right]_0^1 = p_1\sin p_2\,.$    

siehe auch:


  automatisch erstellt am 9. 10. 2013