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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Konstruktion eines Potentials

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Es wird das Potential $ U$ des Vektorfeldes

\begin{displaymath} \vec{F}=\left( \begin{array}{c} 2x+3z-yz\\ -2y-xz\\ 2+3x-xy\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

gesucht.

Integration von $ F_x$ nach $ x$ liefert

$\displaystyle \int F_x\,dx = \int 2x+3z-yz \,dx = \underbrace{x^2 +3xz -xyz}_{U_1(x,y,z)} +\,C_1(y,z)\,. $

Durch Integration nach $ y$ erhält man

$\displaystyle \int F_y - \partial_y U_1\,dy = \int -2y -xz +xz\,dy = \underbrace{-y^2}_{U_2(y,z)} +\,C_2(z)\,, $

und Integration nach $ z$ ergibt schließlich

$\displaystyle \int F_z - \partial_z U_1 -\partial_z U_2\,dz = \int 2 +3x -xy -3x +xy \,dz = \underbrace{2z}_{U_3(z)} +\,c\,. $

Somit ist das Potential

$\displaystyle U(x,y,z)=U_1(x,y,z) + U_2(y,z) + U_3(z) + c = x^2+3xz-xyz-y^2+2z+c\,, $

mit $ c\in\mathbb{R}$.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013