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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Integralsatz von Gauß

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Zur Illustration des Satzes von Gauß wird das Vektorfeld

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} x\\ xy\\ z^3\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

in der Einheitskugel

$\displaystyle V:\quad x^2+y^2+z^2\leq 1 $

betrachtet.

Für die Divergenz ergibt sich

$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}=1+x+3z^2 = 1+r\cos\varphi\sin\vartheta+3r^2\cos^2\vartheta $

und somit für die linke Seite im Satz von Gauß

$\displaystyle \iiint\limits_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV$ $\displaystyle = \int\limits_0^1\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi} (1+r\cos\varphi\sin\vartheta+3r^2\cos^2\vartheta) r^2\sin\vartheta \,d\varphi d\vartheta dr$    
  $\displaystyle = \frac{4}{3}\pi + 0 + 2\pi \int\limits_0^1\int\limits_0^\pi r^4 (3\cos^2\vartheta\sin\vartheta)\,d\vartheta dr$    
  $\displaystyle = \frac{4}{3}\pi + 2\pi\left[\frac{1}{5}r^5\right]_{r=0}^1 \left[... ...right]_{\vartheta=0}^\pi = \frac{4}{3}\pi + \frac{4}{5}\pi =\frac{32}{15}\pi\,.$    

Mit der Parametrisierung

\begin{displaymath} \vec{r}(\vartheta,\varphi)=\left( \begin{array}{c} \cos\varp... ...t),\quad 0\leq\varphi\leq 2\pi,\quad 0\leq\vartheta\leq \pi\,, \end{displaymath}

für die Oberfläche $ S$ der Einheitskugel ergibt sich

$\displaystyle \vec{n}^\circ (\vartheta,\varphi) = \vec{r}(\vartheta,\varphi) \,,\quad d\vec{S} = \vec{n}^\circ \sin \vartheta\,d\varphi d\vartheta\,, $

und mit

\begin{displaymath} \vec{F}(r,\vartheta,\varphi)=\left( \begin{array}{c} \cos\va... ...varphi\sin^2\vartheta\\ \cos^3\vartheta\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

folgt für die rechte Seite im Satz von Gauß

$\displaystyle \iint\limits_{S} \vec{F}\cdot \,d\vec{S}$ $\displaystyle = \int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi} (\cos^2\varphi\sin^2\vart... ...\cos\varphi\sin^3\vartheta +\cos^4\vartheta)\sin\vartheta\, d\varphi d\vartheta$    
  $\displaystyle = \pi \int\limits_0^\pi \sin\vartheta(1-\cos^2\vartheta) \,d\vartheta + 0 + 2\pi \int\limits_0^\pi \cos^4\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta$    
  $\displaystyle =\pi\left([-\cos\vartheta]_0^\pi +\left[\frac{1}{3}\cos^3\vartheta\right]_0^\pi\right) +2\pi\left[-\frac{1}{5}\cos^5\vartheta\right]_0^\pi$    
  $\displaystyle = 2\pi-\frac{2}{3}\pi+\frac{4}{5}\pi =\frac{32}{15}\pi\,,$    

in Übereinstimmung mit dem Volumenintegral.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 2. 10. 2013