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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Koordinatenfreie Definition der Rotation


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Zur Illustration der geometrischen Definition wird das Vektorfeld

\begin{displaymath}
\vec{F}(x,y,z)=\left(
\begin{array}{c}
-y\\ x\\ 0\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

mit

\begin{displaymath}
\operatorname{rot}\vec{F}=\left(
\begin{array}{c}
0\\ 0\\ 2\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

auf Kreisscheiben $ S$ in der $ xy$-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $ a>0$ betrachtet. Der Rand $ C$ von $ S$ wird dabei mit

\begin{displaymath}
C:\quad \vec{r}(t)=\left(
\begin{array}{c}
a\cos t\\ a\sin t...
...in t\\ a\cos t\\ 0\\
\end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi]\,,
\end{displaymath}

parametrisiert. Man erhält

$\displaystyle \lim_{\operatorname{diam}{S}\to0} \frac{1}{\operatorname{area}{S}}\, \int\limits_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \lim_{a\to0}\frac{1}{\pi a^2}\int\limits_0^{2\pi}\left( \begin{...
...) \cdot \left( \begin{array}{c} -a\sin t\\ a\cos t\\ 0\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \lim_{a\to0}\frac{1}{\pi a^2}\int\limits_0^{2\pi} a^2\,dt = \lim_{a\to0}\frac{2\pi a^2}{\pi a^2} = 2\,,$    

was mit

$\displaystyle \vec{n}^\circ\cdot\operatorname{rot} \vec{F} = \left(\begin{array...
...d{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\ 0\\ 2\\
\end{array}\right) = 2
$

übereinstimmt.

siehe auch:


  automatisch erstellt am 30.  9. 2013