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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fourier-Reihen von ungeraden Funktionen

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Es wird die Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Fortsetzung der ungeraden Funktion

\begin{minipage}{.5\linewidth} \begin{center} \includegraphics[clip,width=.9\lin... ...0)\\ 0, & x=0\\ 1, & x\in(0,\pi)\\ \end{cases}\end{displaymath}\end{minipage}

gesucht.

Man erhält

$\displaystyle b_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \sin(kt)\,dt= \frac{2}{\pi}\left[ -\frac{\cos(kt)}{k}\right]_0^\pi = \frac{2}{k\pi}\left(1-(-1)^k\right) $

und damit für $ k=2m$ bzw. $ k=2m+1$

$\displaystyle b_{2m} = 0,\quad b_{2m+1} = \frac{4}{(2m+1)\pi}\,. $

Somit ergibt sich die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^\infty \frac{\sin((2m+1)x)}{2m+1} = \frac{4}{\pi}\left( \frac{\sin(x)}{1}+\frac{\sin(3x)}{3}+\cdots\right)\,. $

Setzt man $ x=\pi/2$, so folgt mit $ f(\pi/2)=1$

$\displaystyle \frac{\pi}{4} = 1 -\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\mp\cdots\,. $

Die Abbildung zeigt die ersten drei Partialsummen der Fourier-Reihe.

\includegraphics[width=.9\linewidth]{b_fourier_ungerade_f_p}

[Verweise]
  automatisch erstellt am 7. 11. 2013