Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fourier-Reihe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Es wird die komplexe Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-e^{\mathrm{i}x}} $

gesucht.

Umschreiben von $ f(x)$ liefert

$\displaystyle f(x) =\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-e^{\mathrm{i}x}/2}\,, $

und da $ \vert e^{\mathrm{i}x}/2\vert<1$ ist, kann man dies als geometrische Reihe schreiben:

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{e^{\mathrm{i}x}}{2} \right)^k\,. $

Die Fourier-Reihe von $ f$ ist somit

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k+1}} e^{\mathrm{i}kx}\,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 7. 11. 2013